Ang isang mahalagang konsepto sa matematika ay isang function. Sa tulong nito, maaari mong mailarawan ang maraming proseso na nagaganap sa kalikasan, ipakita ang ugnayan sa pagitan ng ilang partikular na dami gamit ang mga formula, talahanayan at larawan sa isang graph. Ang isang halimbawa ay ang pag-asa ng presyon ng isang likidong layer sa isang katawan sa lalim ng paglulubog, acceleration - sa pagkilos ng isang tiyak na puwersa sa isang bagay, pagtaas ng temperatura - sa ipinadala na enerhiya, at maraming iba pang mga proseso. Ang pag-aaral ng isang function ay kinabibilangan ng pagbuo ng isang graph, ang paglilinaw ng mga katangian nito, ang saklaw at mga halaga, mga pagitan ng pagtaas at pagbaba. Ang isang mahalagang punto sa prosesong ito ay ang paghahanap ng mga extremum point. Tungkol sa kung paano ito gagawin nang tama, at magpapatuloy ang pag-uusap.
Tungkol sa mismong konsepto sa isang partikular na halimbawa
Sa medisina, ang pag-plot ng isang function graph ay maaaring magsabi tungkol sa pag-unlad ng isang sakit sa katawan ng isang pasyente, na nakikita ang kanyang kalagayan. Ipagpalagay natin na ang oras sa mga araw ay naka-plot sa kahabaan ng OX axis, at ang temperatura ng katawan ng tao ay naka-plot sa kahabaan ng OY axis. Ang figure ay malinaw na nagpapakita kung paano tumataas ang tagapagpahiwatig na ito, attapos bumagsak. Madaling mapansin ang mga singular na punto na sumasalamin sa mga sandali kung kailan ang function, na nadagdagan dati, ay nagsisimulang bumaba, at kabaliktaran. Ito ang mga sukdulang punto, iyon ay, ang mga kritikal na halaga (maximum at minimum) sa kasong ito ng temperatura ng pasyente, pagkatapos ay naganap ang mga pagbabago sa kanyang kondisyon.
Tilt angle
Madaling matukoy mula sa figure kung paano nagbabago ang derivative ng isang function. Kung ang mga tuwid na linya ng graph ay tumaas sa paglipas ng panahon, ito ay positibo. At kung mas matarik ang mga ito, mas malaki ang halaga ng derivative, habang tumataas ang anggulo ng pagkahilig. Sa mga panahon ng pagbaba, ang halagang ito ay kumukuha ng mga negatibong halaga, nagiging zero sa matinding mga punto, at ang graph ng derivative sa huling kaso ay iginuhit parallel sa OX axis.
Anumang iba pang proseso ay dapat tratuhin sa parehong paraan. Ngunit ang pinakamagandang bagay tungkol sa konseptong ito ay masasabi ang paggalaw ng iba't ibang katawan, na malinaw na ipinapakita sa mga graph.
Movement
Ipagpalagay na ang ilang bagay ay gumagalaw sa isang tuwid na linya, nakakakuha ng bilis nang pantay-pantay. Sa panahong ito, ang pagbabago sa mga coordinate ng katawan ay graphic na kumakatawan sa isang tiyak na kurba, na tatawagin ng isang matematiko na isang sangay ng isang parabola. Kasabay nito, ang pag-andar ay patuloy na tumataas, dahil ang mga tagapagpahiwatig ng coordinate ay nagbabago nang mas mabilis at mas mabilis sa bawat segundo. Ipinapakita ng graph ng bilis ang pag-uugali ng derivative, na tumataas din ang halaga nito. Nangangahulugan ito na ang paggalaw ay walang mga kritikal na punto.
Ito ay magpapatuloy nang walang katapusan. Ngunit kung ang katawan ay biglang nagpasya na bumagal, huminto at magsimulang lumipat sa isa padireksyon? Sa kasong ito, ang mga tagapagpahiwatig ng coordinate ay magsisimulang bumaba. At ipapasa ng function ang kritikal na halaga at mula sa pagtaas tungo sa pagbaba.
Sa halimbawang ito, mauunawaan mong muli na ang mga extremum point sa function graph ay lumalabas sa mga sandaling ito ay hindi na nagiging monotonous.
Pisikal na kahulugan ng hinalaw
Malinaw na ipinakita ng Na inilarawan kanina na ang derivative ay mahalagang rate ng pagbabago ng function. Ang refinement na ito ay naglalaman ng pisikal na kahulugan nito. Ang mga matinding puntos ay mga kritikal na lugar sa chart. Posibleng malaman at matukoy ang mga ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng halaga ng derivative, na lumalabas na katumbas ng zero.
May isa pang palatandaan, na isang sapat na kondisyon para sa isang extremum. Ang derivative sa naturang mga lugar ng inflection ay nagbabago ng sign nito: mula "+" hanggang "-" sa rehiyon ng maximum at mula sa "-" hanggang "+" sa rehiyon ng minimum.
Paggalaw sa ilalim ng impluwensya ng grabidad
Isipin natin ang isa pang sitwasyon. Ang mga bata, na naglalaro ng bola, ay inihagis ito sa paraang nagsimula itong gumalaw sa isang anggulo sa abot-tanaw. Sa unang sandali, ang bilis ng bagay na ito ang pinakamalaki, ngunit sa ilalim ng impluwensya ng grabidad ay nagsimula itong bumaba, at sa bawat segundo ng parehong halaga, katumbas ng humigit-kumulang 9.8 m/s2. Ito ang halaga ng acceleration na nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng gravity ng earth sa panahon ng free fall. Sa Buwan, ito ay magiging anim na beses na mas maliit.
Ang graph na naglalarawan sa paggalaw ng katawan ay isang parabola na may mga sanga,pababa. Paano makahanap ng mga extremum point? Sa kasong ito, ito ang vertex ng function, kung saan ang bilis ng katawan (bola) ay tumatagal sa isang zero na halaga. Ang derivative ng function ay nagiging zero. Sa kasong ito, ang direksyon, at samakatuwid ang halaga ng bilis, ay nagbabago sa kabaligtaran. Ang katawan ay lumilipad pababa sa bawat segundo nang mas mabilis at mas mabilis, at bumibilis sa parehong halaga - 9.8 m/s2.
Second derivative
Sa nakaraang kaso, ang graph ng velocity modulus ay iginuhit bilang isang tuwid na linya. Ang linyang ito ay unang nakadirekta pababa, dahil ang halaga ng dami na ito ay patuloy na bumababa. Ang pagkakaroon ng naabot na zero sa isa sa mga punto sa oras, pagkatapos ay ang mga tagapagpahiwatig ng halagang ito ay magsisimulang tumaas, at ang direksyon ng graphical na representasyon ng module ng bilis ay nagbabago nang malaki. Pataas na ngayon ang linya.
Velocity, bilang derivative ng oras ng coordinate, ay mayroon ding kritikal na punto. Sa rehiyong ito, ang function, sa simula ay bumababa, ay nagsisimulang tumaas. Ito ang lugar ng extremum point ng derivative ng function. Sa kasong ito, ang slope ng tangent ay nagiging zero. At ang acceleration, bilang pangalawang derivative ng coordinate na may kinalaman sa oras, ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+". At ang paggalaw mula sa pare-parehong mabagal ay nagiging pare-parehong pinabilis.
Acceleration chart
Ngayon isaalang-alang ang apat na larawan. Ang bawat isa sa kanila ay nagpapakita ng isang graph ng pagbabago sa paglipas ng panahon ng isang pisikal na dami bilang acceleration. Sa kaso ng "A", ang halaga nito ay nananatiling positibo at pare-pareho. Nangangahulugan ito na ang bilis ng katawan, tulad ng coordinate nito, ay patuloy na tumataas. Kung angisipin na ang bagay ay lilipat sa ganitong paraan sa loob ng walang katapusang mahabang panahon, ang pag-andar na sumasalamin sa pagtitiwala ng coordinate sa oras ay lalabas na patuloy na tumataas. Ito ay sumusunod mula dito na wala itong mga kritikal na rehiyon. Wala ring mga extremum point sa graph ng derivative, iyon ay, linearly na pagbabago ng bilis.
Gayundin ang naaangkop sa case na "B" na may positibo at patuloy na pagtaas ng acceleration. Totoo, ang mga plot para sa mga coordinate at bilis ay magiging mas kumplikado dito.
Kapag ang acceleration ay nagiging zero
Pagtingin sa larawang "B", makikita mo ang isang ganap na kakaibang larawan na nagpapakilala sa paggalaw ng katawan. Ang bilis nito ay graphic na ipapakita bilang isang parabola na may mga sanga na nakaturo pababa. Kung ipagpapatuloy natin ang linya na naglalarawan ng pagbabago sa acceleration hanggang sa mag-intersect ito sa OX axis, at higit pa, maiisip natin na hanggang sa kritikal na halaga na ito, kung saan ang acceleration ay lumalabas na katumbas ng zero, tataas ang bilis ng bagay. dahan-dahan pa. Ang extremum point ng derivative ng coordinate function ay nasa tuktok lamang ng parabola, pagkatapos nito ay radikal na babaguhin ng katawan ang kalikasan ng paggalaw at magsisimulang lumipat sa kabilang direksyon.
Sa huling kaso, "G", ang likas na katangian ng kilusan ay hindi tiyak na matukoy. Dito lang natin malalaman na walang acceleration para sa ilang panahon na isinasaalang-alang. Nangangahulugan ito na ang bagay ay maaaring manatili sa lugar o ang paggalaw ay nangyayari sa patuloy na bilis.
Coordinate additional task
Tumuloy tayo sa mga gawaing madalas na makikita sa pag-aaral ng algebra sa paaralan at iniaalok para sapaghahanda para sa pagsusulit. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng graph ng function. Kinakailangang kalkulahin ang kabuuan ng mga extremum point.
Gawin natin ito para sa y-axis sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga kritikal na rehiyon kung saan naoobserbahan ang pagbabago sa mga katangian ng function. Sa madaling salita, nakita namin ang mga halaga sa kahabaan ng x-axis para sa mga inflection point, at pagkatapos ay magpatuloy upang idagdag ang mga resultang termino. Ayon sa graph, malinaw na kinukuha nila ang mga sumusunod na halaga: -8; -7; -5; -3; -2; isa; 3. Nagdaragdag ito ng hanggang -21, na siyang sagot.
Pinakamainam na solusyon
Hindi kinakailangang ipaliwanag kung gaano kahalaga ang pagpili ng pinakamainam na solusyon sa pagganap ng mga praktikal na gawain. Pagkatapos ng lahat, mayroong maraming mga paraan upang makamit ang layunin, at ang pinakamahusay na paraan out, bilang isang panuntunan, ay isa lamang. Ito ay lubhang kailangan, halimbawa, kapag nagdidisenyo ng mga barko, spacecraft at sasakyang panghimpapawid, mga istrukturang arkitektura upang mahanap ang pinakamainam na hugis ng mga bagay na ito na gawa ng tao.
Ang bilis ng mga sasakyan ay higit na nakadepende sa karampatang pag-minimize ng paglaban na nararanasan nila kapag gumagalaw sa tubig at hangin, mula sa mga labis na karga na nagmumula sa ilalim ng impluwensya ng gravitational forces at marami pang ibang indicator. Ang isang barko sa dagat ay nangangailangan ng mga katangian tulad ng katatagan sa panahon ng isang bagyo; para sa isang barkong ilog, ang isang minimum na draft ay mahalaga. Kapag kinakalkula ang pinakamainam na disenyo, ang mga extremum point sa graph ay maaaring biswal na magbigay ng ideya ng pinakamahusay na solusyon sa isang kumplikadong problema. Kadalasan ang mga ganitong gawainay nalutas sa ekonomiya, sa mga pang-ekonomiyang lugar, sa maraming iba pang sitwasyon sa buhay.
Mula sa sinaunang kasaysayan
Matitinding problema ang sumakop maging ang mga sinaunang pantas. Matagumpay na na-unravel ng mga Greek scientist ang misteryo ng mga lugar at volume sa pamamagitan ng mathematical calculations. Sila ang unang nakaunawa na sa isang eroplano ng iba't ibang mga figure na may parehong perimeter, ang bilog ay palaging may pinakamalaking lugar. Katulad nito, ang isang bola ay pinagkalooban ng pinakamataas na volume sa iba pang mga bagay sa kalawakan na may parehong lugar sa ibabaw. Ang mga sikat na personalidad tulad nina Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius ay nakatuon sa kanilang sarili sa paglutas ng mga naturang problema. Napakahusay na nagtagumpay si Heron sa paghahanap ng mga extremum point, na, na nagsagawa ng mga kalkulasyon, ay nakagawa ng mga mapanlikhang aparato. Kabilang dito ang mga awtomatikong makina na gumagalaw sa pamamagitan ng singaw, mga bomba at turbine na tumatakbo sa parehong prinsipyo.
Pagpapagawa ng Carthage
May isang alamat, ang balangkas nito ay batay sa paglutas ng isa sa mga matinding problema. Ang resulta ng diskarte sa negosyo na ipinakita ng prinsesa ng Phoenician, na bumaling sa mga pantas para sa tulong, ay ang pagtatayo ng Carthage. Ang lupain para sa sinaunang at sikat na lungsod na ito ay iniharap kay Dido (iyon ang pangalan ng pinuno) ng pinuno ng isa sa mga tribong Aprikano. Ang lugar ng pamamahagi ay hindi tila sa kanya sa una ay napakalaki, dahil ayon sa kontrata kailangan itong takpan ng isang oxhide. Ngunit inutusan ng prinsesa ang kanyang mga sundalo na gupitin ito sa manipis na mga piraso at gawing sinturon mula sa kanila. Ito ay naging napakatagal na sakop nito ang site,kung saan nababagay ang buong lungsod.
Ang pinagmulan ng calculus
At ngayon, lumipat tayo mula sa sinaunang panahon patungo sa susunod na panahon. Kapansin-pansin, noong ika-17 siglo, si Kepler ay na-prompt na maunawaan ang mga pundasyon ng mathematical analysis sa pamamagitan ng isang pulong sa isang nagbebenta ng alak. Sanay na sanay ang mangangalakal sa kanyang propesyon kaya madali niyang matukoy ang dami ng inumin sa bariles sa pamamagitan lamang ng pagbaba ng bakal na tourniquet dito. Sa pagmumuni-muni sa gayong pag-usisa, ang sikat na siyentipiko ay pinamamahalaang lutasin ang problemang ito para sa kanyang sarili. Lumalabas na ang mga mahuhusay na cooper noong mga panahong iyon ay nasanay sa paggawa ng mga sisidlan sa paraang sa isang tiyak na taas at radius ng circumference ng mga fastening ring ay magkakaroon sila ng pinakamataas na kapasidad.
Ito ay para sa dahilan ni Kepler para sa karagdagang pagmuni-muni. Dumating ang Bochars sa pinakamainam na solusyon sa pamamagitan ng mahabang paghahanap, mga pagkakamali at mga bagong pagtatangka, na ipinapasa ang kanilang karanasan mula sa henerasyon hanggang sa henerasyon. Ngunit nais ni Kepler na pabilisin ang proseso at matutunan kung paano gawin ang pareho sa maikling panahon sa pamamagitan ng mga kalkulasyon sa matematika. Ang lahat ng kanyang mga pag-unlad, na kinuha ng mga kasamahan, ay naging kilala na ngayong theorems ng Fermat at Newton - Leibniz.
Maximum na problema sa lugar
Isipin natin na mayroon tayong wire na may haba na 50 cm. Paano gumawa ng rectangle dito na may pinakamalaking lugar?
Pagsisimula ng isang desisyon, dapat magpatuloy sa simple at alam na katotohanan. Ito ay malinaw na ang perimeter ng aming figure ay magiging 50 cm. Ito rin ay binubuo ng dalawang beses ang haba ng magkabilang panig. Nangangahulugan ito na, kapag itinalaga ang isa sa mga ito bilang "X", ang isa ay maaaring ipahayag bilang (25 - X).
Mula dito kami makakakuhaisang lugar na katumbas ng X (25 - X). Ang expression na ito ay maaaring katawanin bilang isang function na tumatagal sa maraming mga halaga. Ang solusyon sa problema ay nangangailangan ng paghahanap ng maximum ng mga ito, na nangangahulugang dapat mong malaman ang mga extremum point.
Para magawa ito, hinahanap namin ang unang derivative at itinutumbas ito sa zero. Ang resulta ay isang simpleng equation: 25 - 2X=0.
Mula rito, nalaman natin na ang isa sa mga panig X=12, 5.
Samakatuwid, isa pa: 25 – 12, 5=12, 5.
Lumalabas na ang solusyon sa problema ay isang parisukat na may gilid na 12.5 cm.
Paano mahanap ang maximum na bilis
Pag-isipan natin ang isa pang halimbawa. Isipin na mayroong isang katawan na ang rectilinear motion ay inilalarawan ng equation na S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, kung saan ang distansya ang nilakbay ay ipinahayag sa metro, at ang oras ay nasa segundo. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum na bilis. Paano ito gagawin? Na-download, hanapin ang bilis, iyon ay, ang unang derivative.
Nakukuha natin ang equation: V=- 3t2 + 18t – 24. Ngayon, upang malutas ang problema, kailangan nating hanapin muli ang mga extremum point. Dapat itong gawin sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang gawain. Hanapin ang unang derivative ng bilis at itumbas ito sa zero.
Nakukuha natin ang: - 6t + 18=0. Kaya t=3 s. Ito ang oras kung kailan ang bilis ng katawan ay tumatagal sa isang kritikal na halaga. Pinapalitan namin ang nakuhang data sa velocity equation at makuha ang: V=3 m/s.
Ngunit paano maiintindihan na ito ang eksaktong pinakamataas na bilis, dahil ang mga kritikal na punto ng isang function ay maaaring ang pinakamataas o pinakamababang halaga nito? Upang suriin, kailangan mong maghanap ng isang segundoderivative ng bilis. Ito ay ipinahayag bilang numero 6 na may minus sign. Nangangahulugan ito na ang nahanap na punto ay ang maximum. At sa kaso ng positibong halaga ng pangalawang derivative, magkakaroon ng minimum. Kaya, naging tama ang nahanap na solusyon.
Ang mga gawaing ibinigay bilang isang halimbawa ay bahagi lamang ng mga iyon na maaaring malutas sa pamamagitan ng kakayahang mahanap ang mga extremum point ng isang function. Sa totoo lang, marami pa. At ang gayong kaalaman ay nagbubukas ng walang limitasyong mga posibilidad para sa sibilisasyon ng tao.
