Medyo madalas sa mathematical science ay may ilang mga paghihirap at tanong, at marami sa mga sagot ay hindi palaging malinaw. Walang pagbubukod ang isang paksa tulad ng cardinality ng mga set. Sa katunayan, ito ay hindi hihigit sa isang numerical expression ng bilang ng mga bagay. Sa isang pangkalahatang kahulugan, ang isang set ay isang axiom; wala itong kahulugan. Ito ay batay sa anumang mga bagay, o sa halip ang kanilang hanay, na maaaring walang laman, may hangganan o walang katapusan. Bilang karagdagan, naglalaman ito ng mga integer o natural na numero, matrice, sequence, segment at linya.
Tungkol sa mga umiiral nang variable
Ang isang null o walang laman na set na walang intrinsic na halaga ay itinuturing na isang kardinal na elemento dahil ito ay isang subset. Ang koleksyon ng lahat ng mga subset ng isang hindi walang laman na set S ay isang set ng mga set. Kaya, ang power set ng isang ibinigay na set ay itinuturing na marami, naiisip, ngunit iisa. Ang hanay na ito ay tinatawag na hanay ng mga kapangyarihan ng S at tinutukoy ng P (S). Kung ang S ay naglalaman ng N elemento, ang P(S) ay naglalaman ng 2^n subset, dahil ang isang subset ng P(S) ay alinman sa ∅ o isang subset na naglalaman ng r elemento mula sa S, r=1, 2, 3, … Binubuo ng lahat ng walang katapusanset M ay tinatawag na dami ng kapangyarihan at simbolikong tinutukoy ng P (M).
Mga elemento ng set theory
Ang larangan ng kaalaman na ito ay binuo ni George Cantor (1845-1918). Ngayon ito ay ginagamit sa halos lahat ng sangay ng matematika at nagsisilbing pangunahing bahagi nito. Sa set theory, ang mga elemento ay kinakatawan sa anyo ng isang listahan at binibigyan ng mga uri (empty set, singleton, finite at infinite sets, equal and equivalent, universal), unyon, intersection, difference, at pagdaragdag ng mga numero. Sa pang-araw-araw na buhay, madalas nating pinag-uusapan ang isang koleksyon ng mga bagay tulad ng isang bungkos ng mga susi, isang kawan ng mga ibon, isang pakete ng mga card, atbp. Sa math grade 5 at higit pa, mayroong natural, integer, prime, at composite na mga numero.
Maaaring isaalang-alang ang mga sumusunod na hanay:
- natural na numero;
- mga titik ng alpabeto;
- primary odds;
- mga tatsulok na may magkaibang panig.
Makikita na ang mga tinukoy na halimbawang ito ay mahusay na tinukoy na mga hanay ng mga bagay. Isaalang-alang ang ilan pang halimbawa:
- limang pinakatanyag na siyentipiko sa mundo;
- pitong magagandang babae sa lipunan;
- tatlong pinakamahuhusay na surgeon.
Ang mga halimbawa ng cardinality na ito ay hindi mahusay na tinukoy na mga koleksyon ng mga bagay, dahil ang pamantayan para sa "pinaka sikat", "pinaka maganda", "pinakamahusay" ay nag-iiba-iba sa bawat tao.
Sets
Ang halagang ito ay isang mahusay na tinukoy na bilang ng iba't ibang mga bagay. Ipagpalagay na:
Ang
Ang
Ang
Kung ang "a" ay isang elemento ng set A, kung gayon sinasabing ang "a" ay kabilang sa A. Tukuyin natin ang pariralang "pag-aari" sa salitang Griyego na "∈" (epsilon). Kaya, lumalabas na ang a ∈ A. Kung ang 'b' ay isang elemento na hindi kabilang sa A, ito ay kinakatawan bilang b ∉ A. Ang ilang mahahalagang set na ginamit sa grade 5 mathematics ay kinakatawan gamit ang tatlong sumusunod na pamamaraan:
- applications;
- registries o tabular;
- panuntunan para sa paggawa ng formation.
Sa mas malapit na pagsusuri, ang application form ay batay sa mga sumusunod. Sa kasong ito, ang isang malinaw na paglalarawan ng mga elemento ng set ay ibinigay. Lahat sila ay nakapaloob sa mga kulot na braces. Halimbawa:
- set ng mga kakaibang numero na mas mababa sa 7 - nakasulat bilang {mas mababa sa 7};
- isang set ng mga numerong mas malaki sa 30 at mas mababa sa 55;
- bilang ng mga mag-aaral sa isang klase na mas matimbang kaysa sa guro.
Sa form ng registry (talahanayan), ang mga elemento ng isang set ay nakalista sa loob ng isang pares ng mga bracket {} at pinaghihiwalay ng mga kuwit. Halimbawa:
- Hayaan ang N na tukuyin ang set ng unang limang natural na numero. Samakatuwid, N=→ form ng pagpaparehistro
- Set ng lahat ng vowels ng English alphabet. Kaya naman V={a, e, i, o, u, y} → form ng rehistro
- Ang hanay ng lahat ng mga kakaibang numero ay mas mababa sa 9. Samakatuwid, X={1, 3, 5, 7} → formregistry
- Set ng lahat ng letra sa salitang "Math". Samakatuwid, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registry Form
- W ay ang set ng huling apat na buwan ng taon. Samakatuwid, W={Setyembre, Oktubre, Nobyembre, Disyembre} → pagpapatala.
Ang
Tandaan na ang pagkakasunud-sunod kung saan nakalista ang mga elemento ay hindi mahalaga, ngunit hindi dapat ulitin ang mga ito. Ang isang itinatag na anyo ng konstruksiyon, sa isang partikular na kaso, ang isang panuntunan, formula o operator ay nakasulat sa isang pares ng mga bracket upang ang set ay wastong tinukoy. Sa set builder form, lahat ng elemento ay dapat may parehong property para maging miyembro ng value na pinag-uusapan.
Sa ganitong paraan ng representasyon ng set, inilalarawan ang isang elemento ng set na may character na "x" o anumang iba pang variable na sinusundan ng tutuldok (":" o "|" ay ginagamit upang ipahiwatig). Halimbawa, hayaan ang P ang hanay ng mga mabibilang na numero na mas malaki sa 12. Ang P sa set-builder form ay nakasulat bilang - {countable number and greater than 12}. Babasahin ito sa isang tiyak na paraan. Ibig sabihin, "Ang P ay isang hanay ng mga x na elemento na ang x ay mabibilang at mas malaki sa 12."
Nalutas na halimbawa gamit ang tatlong set na paraan ng representasyon: bilang ng mga integer sa pagitan ng -2 at 3. Nasa ibaba ang mga halimbawa ng iba't ibang uri ng set:
- Isang walang laman o null set na walang anumang elemento at tinutukoy ng simbolo ∅ at binabasa bilang phi. Sa anyo ng listahan, ang ∅ ay nakasulat na {}. Walang laman ang finite set, dahil ang bilang ng mga elemento ay 0. Halimbawa, ang set ng integer values ay mas mababa sa 0.
- Malinaw na hindi dapat mayroong <0. Samakatuwid, itobakanteng set.
- Ang isang set na naglalaman lamang ng isang variable ay tinatawag na singleton set. Hindi simple o tambalan.
Finite set
Ang isang set na naglalaman ng isang tiyak na bilang ng mga elemento ay tinatawag na isang finite o infinite set. Ang walang laman ay tumutukoy sa una. Halimbawa, isang set ng lahat ng kulay sa bahaghari.
Ang
Infinity ay isang set. Ang mga elemento sa loob nito ay hindi mabilang. Iyon ay, ang naglalaman ng mga katulad na variable ay tinatawag na isang walang katapusang set. Mga halimbawa:
- kapangyarihan ng set ng lahat ng puntos sa eroplano;
- set ng lahat ng prime number.
Ngunit dapat mong maunawaan na ang lahat ng mga kardinalidad ng unyon ng isang set ay hindi maaaring ipahayag sa anyo ng isang listahan. Halimbawa, mga totoong numero, dahil ang mga elemento ng mga ito ay hindi tumutugma sa anumang partikular na pattern.
Ang cardinal number ng isang set ay ang bilang ng iba't ibang elemento sa isang naibigay na dami A. Ito ay naka-denote n (A).
Halimbawa:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Samakatuwid, n (A)=4.
- B=set ng mga titik sa salitang ALGEBRA.
Mga katumbas na hanay para sa hanay ng paghahambing
Dalawang cardinality ng isang set A at B ay ganoon kung pareho ang kanilang cardinal number. Ang simbolo para sa katumbas na hanay ay "↔". Halimbawa: A ↔ B.
Pantay na set: dalawang cardinality ng set A at B kung naglalaman ang mga ito ng parehong elemento. Ang bawat koepisyent mula sa A ay isang variable mula sa B, at ang bawat isa sa B ay ang tinukoy na halaga ng A. Samakatuwid, A=B. Ang iba't ibang uri ng mga unyon ng cardinality at ang kanilang mga kahulugan ay ipinaliwanag gamit ang mga halimbawang ibinigay.
Essence of finiteness and infinity
Ano ang mga pagkakaiba sa pagitan ng cardinality ng finite set at infinite set?
Ang unang value ay may sumusunod na pangalan kung ito ay walang laman o may hangganang bilang ng mga elemento. Sa isang finite set, maaaring tukuyin ang isang variable kung ito ay may limitadong bilang. Halimbawa, gamit ang natural na numero 1, 2, 3. At ang proseso ng listahan ay nagtatapos sa ilang N. Ang bilang ng iba't ibang elemento na binibilang sa finite set S ay tinutukoy ng n (S). Tinatawag din itong order o cardinal. Symbolically denoted ayon sa karaniwang prinsipyo. Kaya, kung ang set S ay ang alpabetong Ruso, kung gayon naglalaman ito ng 33 elemento. Mahalaga ring tandaan na ang isang elemento ay hindi nangyayari nang higit sa isang beses sa isang set.
Infinite sa set
Ang isang set ay tinatawag na infinite kung ang mga elemento ay hindi mabilang. Kung ito ay may unbounded (iyon ay, uncountable) natural na numero 1, 2, 3, 4 para sa anumang n. Ang isang set na hindi may hangganan ay tinatawag na walang hanggan. Maaari na nating talakayin ang mga halimbawa ng mga numerong halaga na isinasaalang-alang. Mga opsyon sa end value:
- Hayaan ang Q={mga natural na numero na mas mababa sa 25}. Kung gayon ang Q ay isang finite set at n (P)=24.
- Hayaan ang R={mga integer sa pagitan ng 5 at 45}. Kung gayon ang R ay isang finite set at n (R)=38.
- Hayaan ang S={numbers modulo 9}. Tapos S=Ang {-9, 9} ay isang finite set at n (S)=2.
- Set ng lahat ng tao.
- Bilang ng lahat ng ibon.
Mga walang katapusang halimbawa:
- bilang ng mga kasalukuyang punto sa eroplano;
- bilang ng lahat ng puntos sa segment ng linya;
- ang hanay ng mga positibong integer na nahahati sa 3 ay walang katapusan;
- lahat ng buo at natural na mga numero.
Kaya, mula sa pangangatwiran sa itaas, malinaw kung paano makilala ang mga hanay na may hangganan at walang katapusan.
Power of the continuum set
Kung ihahambing natin ang hanay at iba pang umiiral na mga halaga, may kalakip na karagdagan sa hanay. Kung ang ξ ay unibersal at ang A ay isang subset ng ξ, kung gayon ang complement ng A ay ang bilang ng lahat ng elemento ng ξ na hindi mga elemento ng A. Simbolo, ang komplemento ng A na may kinalaman sa ξ ay A'. Halimbawa, ang 2, 4, 5, 6 ay ang tanging mga elemento ng ξ na hindi kabilang sa A. Samakatuwid, A'={2, 4, 5, 6}
Ang isang set na may cardinality continuum ay may mga sumusunod na feature:
- complement ng unibersal na dami ay ang walang laman na value na pinag-uusapan;
- ang null set na variable na ito ay pangkalahatan;
- halaga at ang mga pandagdag nito ay magkahiwalay.
Halimbawa:
- Hayaan ang bilang ng mga natural na numero ay isang unibersal na hanay at ang A ay maging pantay. At ang A '{x: x ay isang kakaibang hanay na may parehong mga digit}.
- Let ξ=set ng mga titik sa alpabeto. A=set ng mga katinig. Pagkatapos ay A '=bilang ng mga patinig.
- Ang pandagdag sa unibersal na hanay ay ang walang laman na dami. Maaaring tukuyin ng ξ. Pagkatapos ξ '=Ang hanay ng mga elementong iyon na hindi kasama sa ξ. Ang walang laman na set na φ ay isinusulat at tinutukoy. Samakatuwid ξ=φ. Kaya, ang pandagdag sa unibersal na hanay ay walang laman.
Sa matematika, minsan ginagamit ang "continuum" upang kumatawan sa isang tunay na linya. At higit sa pangkalahatan, upang ilarawan ang mga katulad na bagay:
- continuum (sa set theory) - totoong linya o katumbas na cardinal number;
- linear - anumang ordered set na nagbabahagi ng ilang partikular na katangian ng isang totoong linya;
- continuum (sa topology) - walang laman na compact na konektadong metric space (minsan Hausdorff);
- ang hypothesis na walang infinite set na mas malaki kaysa sa mga integer ngunit mas maliit sa totoong numero;
- ang kapangyarihan ng continuum ay isang cardinal number na kumakatawan sa laki ng hanay ng mga totoong numero.
Mahalaga, isang continuum (pagsukat), mga teorya o modelo na nagpapaliwanag ng mga unti-unting paglipat mula sa isang estado patungo sa isa pa nang walang anumang biglaang pagbabago.
Mga problema ng unyon at intersection
Alam na ang intersection ng dalawa o higit pang set ay ang numerong naglalaman ng lahat ng elemento na karaniwan sa mga value na ito. Ang mga gawain ng salita sa mga hanay ay nalulutas upang makakuha ng mga pangunahing ideya tungkol sa kung paano gamitin ang mga katangian ng unyon at intersection ng mga hanay. Nalutas ang mga pangunahing problema ng mga salita saganito ang hitsura ng mga set:
Hayaan ang A at B na dalawang may hangganang hanay. Ang mga ito ay tulad na n (A)=20, n (B)=28 at n (A ∪ B)=36, hanapin n (A ∩ B)
Relasyon sa mga set gamit ang Venn diagram:
- Ang pagsasama ng dalawang set ay maaaring katawanin ng isang may kulay na lugar na kumakatawan sa A ∪ B. A ∪ B kapag ang A at B ay magkahiwalay na set.
- Ang intersection ng dalawang set ay maaaring katawanin ng Venn diagram. May shaded area na kumakatawan sa A ∩ B.
- Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang set ay maaaring katawanin ng mga Venn diagram. May may kulay na lugar na kumakatawan sa A - B.
- Relasyon sa pagitan ng tatlong set gamit ang Venn diagram. Kung ang ξ ay kumakatawan sa isang unibersal na dami, kung gayon ang A, B, C ay tatlong subset. Dito, magkakapatong ang tatlong set.
Pagbubuod ng impormasyon sa hanay
Ang cardinality ng isang set ay tinukoy bilang ang kabuuang bilang ng mga indibidwal na elemento sa set. At ang huling tinukoy na halaga ay inilarawan bilang ang bilang ng lahat ng mga subset. Kapag pinag-aaralan ang mga naturang isyu, kinakailangan ang mga pamamaraan, pamamaraan at solusyon. Kaya, para sa cardinality ng isang set, ang mga sumusunod na halimbawa ay maaaring magsilbing:
Let A={0, 1, 2, 3}| |=4, kung saan | Isang | kumakatawan sa cardinality ng set A.
Ngayon ay mahahanap mo na ang iyong power pack. Ito ay medyo simple din. Gaya ng nasabi na, itinakda ang power set mula sa lahat ng subset ng isang naibigay na numero. Kaya dapat isa talaga tukuyin ang lahat ng mga variable, elemento at iba pang mga halaga ng A,na ang {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Now power figure out P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} na mayroong 16 na elemento. Kaya, ang cardinality ng set A=16. Malinaw, ito ay isang nakakapagod at masalimuot na pamamaraan para sa paglutas ng problemang ito. Gayunpaman, mayroong isang simpleng formula kung saan, direkta, malalaman mo ang bilang ng mga elemento sa power set ng isang naibigay na numero. | P |=2 ^ N, kung saan ang N ay ang bilang ng mga elemento sa ilang A. Ang formula na ito ay maaaring makuha gamit ang simpleng combinatorics. Kaya ang tanong ay 2^11 dahil ang bilang ng mga elemento sa set A ay 11.
Kaya, ang isang set ay anumang numerong ipinahayag na dami, na maaaring maging anumang posibleng bagay. Halimbawa, mga kotse, tao, numero. Sa isang matematikal na kahulugan, ang konseptong ito ay mas malawak at mas pangkalahatan. Kung sa mga unang yugto ang mga numero at mga opsyon para sa kanilang solusyon ay pinagsunod-sunod, pagkatapos ay sa gitna at mas mataas na mga yugto ang mga kondisyon at gawain ay kumplikado. Sa katunayan, ang kardinalidad ng unyon ng isang set ay tinutukoy ng pag-aari ng bagay sa anumang grupo. Ibig sabihin, ang isang elemento ay kabilang sa isang klase, ngunit may isa o higit pang mga variable.
