Polynomial, o polynomial - isa sa mga pangunahing istrukturang algebraic, na matatagpuan sa paaralan at mas mataas na matematika. Ang pag-aaral ng polynomial ay ang pinakamahalagang paksa sa kursong algebra, dahil, sa isang banda, ang mga polynomial ay medyo simple kumpara sa iba pang mga uri ng function, at, sa kabilang banda, malawakang ginagamit ang mga ito sa paglutas ng mga problema ng mathematical analysis.. Kaya ano ang polynomial?
Definition
Ang kahulugan ng terminong polynomial ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng konsepto ng isang monomial, o monomial.
Ang monomial ay isang pagpapahayag ng anyong cx1i1x2 i2 …x sa. Narito ang с ay isang pare-pareho, x1, x2, … x - mga variable, i1, i2, … sa - mga exponent ng mga variable. Kung gayon ang polynomial ay anumang finite sum of monomials.
Para maunawaan kung ano ang polynomial, maaari kang tumingin sa mga partikular na halimbawa.
Ang square trinomial, na tinalakay nang detalyado sa 8th grade math course, ay polynomial: ax2+bx+c.
Maaaring ganito ang hitsura ng polynomial na may dalawang variable: x2-xy+y2. ganyanang polynomial ay tinatawag ding hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng x at y.
Mga polynomial classification
Polynomial degree
Para sa bawat monomial sa polynomial, hanapin ang kabuuan ng mga exponent na i1+i2+…+in. Ang pinakamalaki sa mga kabuuan ay tinatawag na exponent ng polynomial, at ang monomial na tumutugma sa kabuuan na ito ay tinatawag na pinakamataas na termino.
Nga pala, ang anumang constant ay maaaring ituring na polynomial ng degree zero.
Reduced at non-reduced polynomial
Kung ang coefficient c ay katumbas ng 1 para sa pinakamataas na termino, ang polynomial ay ibibigay, kung hindi man ay hindi.
Halimbawa, ang expression na x2+2x+1 ay isang pinababang polynomial, at ang 2x2+2x+1 ay hindi binabawasan.
Homogeneous at inhomogeneous polynomials
Kung ang mga antas ng lahat ng mga miyembro ng isang polynomial ay pantay, pagkatapos ay sinasabi namin na ang naturang polynomial ay homogenous. Ang lahat ng iba pang polynomial ay itinuturing na hindi homogenous.
Homogeneous polynomials: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogenous: x+1, x2+y.
May mga espesyal na pangalan para sa polynomial ng dalawa at tatlong termino: binomial at trinomial, ayon sa pagkakabanggit.
Ang mga polynomial ng isang variable ay inilalaan sa isang hiwalay na kategorya.
Paglalapat ng polynomial ng isang variable
Polynomials ng isang variable na tinatayang maayos na tuluy-tuloy na function na may iba't ibang kumplikado mula sa isang argument.
Ang katotohanan ay ang mga naturang polynomial ay maaaring ituring bilang mga partial sums ng isang power series, at ang tuluy-tuloy na function ay maaaring katawanin bilang isang serye na may arbitraryong maliit na error. Ang serye ng pagpapalawak ng isang function ay tinatawag na Taylor series, at ang kanilangmga bahagyang kabuuan sa anyo ng mga polynomial - Taylor polynomial.
Ang graphical na pag-aaral ng gawi ng isang function sa pamamagitan ng pagtatantya nito sa ilang polynomial ay kadalasang mas madali kaysa sa direktang pagsisiyasat sa parehong function o paggamit ng isang serye.
Madaling maghanap ng mga derivatives ng polynomials. Upang mahanap ang mga ugat ng polynomial na degree 4 at mas mababa, may mga handa nang formula, at para sa pagtatrabaho sa mas mataas na degree, ginagamit ang mga high-precision approximate algorithm.
Mayroon ding generalization ng mga inilarawang polynomial para sa mga function ng ilang variable.
Newton's binomial
Ang mga sikat na polynomial ay mga polynomial ni Newton, na hinango ng mga siyentipiko upang mahanap ang mga coefficient ng expression (x + y).
Sapat na tingnan ang unang ilang kapangyarihan ng binomial decomposition upang matiyak na ang formula ay hindi mahalaga:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Para sa bawat coefficient mayroong isang expression na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ito. Gayunpaman, ang pagsasaulo ng masalimuot na mga formula at pagsasagawa ng mga kinakailangang operasyon ng aritmetika sa bawat oras ay magiging lubhang abala para sa mga mathematician na madalas na nangangailangan ng mga naturang pagpapalawak. Pinadali ng tatsulok ni Pascal ang buhay nila.
Ang figure ay binuo ayon sa sumusunod na prinsipyo. Ang 1 ay nakasulat sa tuktok ng tatsulok, at sa bawat susunod na linya ito ay nagiging isa pang digit, ang 1 ay inilalagay sa mga gilid, at ang gitna ng linya ay puno ng mga kabuuan ng dalawang magkatabing numero mula sa nauna.
Kapag tiningnan mo ang ilustrasyon, nagiging malinaw ang lahat.
Siyempre, ang paggamit ng mga polynomial sa matematika ay hindi limitado sa mga ibinigay na halimbawa, ang pinakakilalang mga halimbawa.
