Georg Kantor (ibigay ang larawan sa susunod na bahagi ng artikulo) ay isang German mathematician na lumikha ng set theory at nagpakilala ng konsepto ng transfinite na mga numero, walang hanggan malaki, ngunit magkaiba sa isa't isa. Tinukoy din niya ang mga ordinal at cardinal na numero at nilikha ang arithmetic ng mga ito.
Georg Kantor: maikling talambuhay
Ipinanganak sa St. Petersburg noong 1845-03-03. Ang kanyang ama ay isang Dane ng pananampalatayang Protestante, si Georg-Valdemar Kantor, na nakikibahagi sa kalakalan, kabilang ang stock exchange. Ang kanyang ina na si Maria Bem ay isang Katoliko at nagmula sa pamilya ng mga kilalang musikero. Nang magkasakit ang ama ni Georg noong 1856, lumipat muna ang pamilya sa Wiesbaden at pagkatapos ay sa Frankfurt para maghanap ng mas banayad na klima. Ang mga talento sa matematika ng batang lalaki ay nagpakita kahit bago ang kanyang ika-15 na kaarawan habang nag-aaral sa mga pribadong paaralan at gymnasium sa Darmstadt at Wiesbaden. Sa huli, kinumbinsi ni Georg Cantor ang kanyang ama sa kanyang matibay na intensyon na maging isang mathematician, hindi isang engineer.
Pagkatapos ng maikling pag-aaral sa Unibersidad ng Zurich, noong 1863 lumipat si Kantor sa Unibersidad ng Berlin upang mag-aral ng pisika, pilosopiya at matematika. Nandiyan siyaitinuro:
- Karl Theodor Weierstrass, na ang espesyalisasyon sa pagsusuri ay malamang na may pinakamalaking impluwensya kay Georg;
- Ernst Eduard Kummer, na nagturo ng mas mataas na aritmetika;
- Leopold Kronecker, number theorist na kalaunan ay sumalungat kay Cantor.
Pagkatapos gumugol ng isang semestre sa Unibersidad ng Göttingen noong 1866, nang sumunod na taon ay isinulat ni Georg ang kanyang disertasyong pang-doktoral na pinamagatang "Sa matematika ang sining ng pagtatanong ay mas mahalaga kaysa paglutas ng mga problema", tungkol sa isang suliranin na mayroon si Carl Friedrich Gauss hindi nalutas sa kanyang Disquisitiones Arithmeticae (1801). Pagkatapos ng maikling pagtuturo sa Berlin School for Girls, nagsimulang magtrabaho si Kantor sa University of Halle, kung saan nanatili siya hanggang sa katapusan ng kanyang buhay, una bilang isang guro, mula 1872 bilang isang assistant professor, at mula 1879 bilang isang propesor.
Pananaliksik
Sa simula ng serye ng 10 papel mula 1869 hanggang 1873, itinuring ni Georg Cantor ang teorya ng numero. Ang trabaho ay sumasalamin sa kanyang pagkahilig para sa paksa, ang kanyang pag-aaral ng Gauss at ang impluwensya ni Kronecker. Sa mungkahi ni Heinrich Eduard Heine, kasamahan ni Cantor sa Halle, na kinilala ang kanyang talento sa matematika, bumaling siya sa teorya ng trigonometric series, kung saan pinalawak niya ang konsepto ng totoong mga numero.
Batay sa gawain ng isang kumplikadong variable ng German mathematician na si Bernhard Riemann noong 1854, noong 1870 Ipinakita ng Kantor na ang naturang function ay maaaring katawanin sa isang paraan lamang - sa pamamagitan ng trigonometric series. Pagsasaalang-alang ng isang set ng mga numero (puntos) naay hindi sumasalungat sa ganoong pananaw, pinamunuan siya, una, noong 1872 sa kahulugan ng mga hindi makatwiran na mga numero sa mga tuntunin ng magkakaugnay na mga pagkakasunud-sunod ng mga rational na numero (mga fraction ng integers) at higit pa sa simula ng trabaho sa kanyang gawain sa buhay, set theory at ang konsepto ng mga transfinite na numero.
Itakda ang Teorya
Georg Cantor, na ang set theory ay nagmula sa pakikipagsulatan sa mathematician ng Technical Institute of Braunschweig Richard Dedekind, ay kaibigan niya mula pagkabata. Napagpasyahan nila na ang mga hanay, may hangganan man o walang katapusan, ay mga koleksyon ng mga elemento (hal. mga numero, {0, ±1, ±2…}) na may partikular na katangian habang pinapanatili ang kanilang indibidwalidad. Ngunit nang gumamit si Georg Cantor ng isa-sa-isang sulat (halimbawa, {A, B, C} hanggang {1, 2, 3}) upang pag-aralan ang kanilang mga katangian, agad niyang napagtanto na magkaiba sila sa kanilang antas ng pagiging miyembro, kahit na kung ang mga ito ay mga infinite set., ibig sabihin, mga set, isang bahagi o subset kung saan kasama ang kasing dami ng mga object nito. Ang kanyang pamamaraan sa lalong madaling panahon ay nagbigay ng kamangha-manghang mga resulta.
Noong 1873, ipinakita ni Georg Cantor (mathematician) na ang mga rational na numero, bagama't walang katapusan, ay mabibilang dahil maaari silang ilagay sa isa-sa-isang sulat na may mga natural na numero (ibig sabihin, 1, 2, 3, atbp.). d.). Ipinakita niya na ang hanay ng mga tunay na numero, na binubuo ng mga hindi makatwiran at makatwiran, ay walang hanggan at hindi mabilang. Mas kabalintunaan, pinatunayan ni Cantor na ang hanay ng lahat ng algebraic na numero ay naglalaman ng kasing dami ng mga elementoilan ang set ng lahat ng integer, at ang mga transendental na numero, na hindi algebraic, na isang subset ng mga hindi makatwirang numero, ay hindi mabilang at, samakatuwid, ang kanilang bilang ay mas malaki kaysa sa mga integer, at dapat ituring na walang katapusan.
Mga kalaban at tagasuporta
Ngunit ang papel ni Kantor, kung saan una niyang inilagay ang mga resultang ito, ay hindi nai-publish sa Krell, dahil ang isa sa mga tagasuri, si Kronecker, ay mahigpit na tinutulan. Ngunit pagkatapos ng interbensyon ng Dedekind, inilathala ito noong 1874 sa ilalim ng pamagat na "Sa mga katangian ng katangian ng lahat ng tunay na algebraic na numero."
Agham at pribadong buhay
Sa parehong taon, habang nasa kanyang honeymoon kasama ang kanyang asawang si Wally Gutman sa Interlaken, Switzerland, nakilala ni Kantor si Dedekind, na nagsalita nang pabor sa kanyang bagong teorya. Maliit ang suweldo ni George, ngunit sa pera ng kanyang ama, na namatay noong 1863, nagpatayo siya ng bahay para sa kanyang asawa at limang anak. Marami sa kanyang mga papel ang nai-publish sa Sweden sa bagong journal na Acta Mathematica, na-edit at itinatag ni Gesta Mittag-Leffler, na isa sa mga unang nakakilala sa talento ng German mathematician.
Koneksyon sa metaphysics
Ang teorya ni Cantor ay naging isang ganap na bagong paksa ng pag-aaral tungkol sa matematika ng walang katapusan (hal. serye 1, 2, 3, atbp., at mas kumplikadong mga hanay), na lubhang nakadepende sa isa-sa-isang sulat. Ang pagbuo ng Kantor ng mga bagong pamamaraan ng pagtatanghalmga tanong tungkol sa pagpapatuloy at kawalang-hanggan, ay nagbigay sa kanyang pananaliksik ng isang hindi tiyak na karakter.
Nang ipangatwiran niya na talagang umiiral ang walang katapusang mga numero, bumaling siya sa sinaunang at medieval na pilosopiya tungkol sa aktwal at potensyal na infinity, gayundin sa maagang relihiyosong edukasyon na ibinigay sa kanya ng kanyang mga magulang. Noong 1883, sa kanyang aklat na Foundations of General Set Theory, pinagsama ni Kantor ang kanyang konsepto sa metaphysics ni Plato.
Kronecker, na nagsabing integers lamang ang “umiiral” (“nilikha ng Diyos ang mga integer, ang iba ay gawa ng tao”), sa loob ng maraming taon ay mariing tinanggihan ang kanyang pangangatwiran at pinigilan ang kanyang appointment sa Unibersidad ng Berlin.
Transfinite na numero
Noong 1895-97. Ganap na nabuo ni Georg Cantor ang kanyang ideya ng pagpapatuloy at kawalang-hanggan, kabilang ang walang katapusang ordinal at kardinal na mga numero, sa kanyang pinakatanyag na gawain, na inilathala bilang Contributions to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915). Ang sanaysay na ito ay naglalaman ng kanyang konsepto, kung saan siya ay pinangunahan sa pamamagitan ng pagpapakita na ang isang walang katapusang set ay maaaring ilagay sa isang one-to-one na sulat sa isa sa mga subset nito.
Sa ilalim ng least transfinite cardinal number, ang ibig niyang sabihin ay ang cardinality ng anumang set na maaaring ilagay sa one-to-one na sulat na may natural na mga numero. Tinawag ito ni Cantor na aleph-null. Ang malalaking transfinite set ay tinutukoy na aleph-one, aleph-two, atbp. Lalo niyang binuo ang arithmetic ng transfinite na mga numero, na kahalintulad sa finite arithmetic. kaya siyapinayaman ang konsepto ng infinity.
Ang pagsalungat na kanyang hinarap at ang oras na inabot para ganap na matanggap ang kanyang mga ideya ay dahil sa kahirapan na muling suriin ang sinaunang tanong kung ano ang isang numero. Ipinakita ni Cantor na ang hanay ng mga puntos sa isang linya ay may mas mataas na cardinality kaysa sa aleph-zero. Ito ay humantong sa kilalang problema ng continuum hypothesis - walang mga cardinal na numero sa pagitan ng aleph-zero at ang kapangyarihan ng mga puntos sa linya. Ang problemang ito sa una at ikalawang kalahati ng ika-20 siglo ay pumukaw ng malaking interes at pinag-aralan ng maraming mathematician, kabilang sina Kurt Gödel at Paul Cohen.
Depression
Ang talambuhay ni Georg Kantor mula noong 1884 ay natabunan ng kanyang sakit sa pag-iisip, ngunit patuloy siyang aktibong nagtatrabaho. Noong 1897 tumulong siya na humawak ng unang internasyonal na kongreso sa matematika sa Zurich. Bahagyang dahil tinutulan siya ni Kronecker, madalas siyang nakikiramay sa mga kabataang naghahangad na mathematician at humanap ng paraan upang mailigtas sila mula sa panliligalig ng mga guro na nakaramdam ng pananakot ng mga bagong ideya.
Pagkilala
Sa pagpasok ng siglo, ang kanyang gawa ay ganap na kinilala bilang batayan para sa teorya ng pag-andar, pagsusuri at topolohiya. Bilang karagdagan, ang mga libro ng Cantor Georg ay nagsilbing impetus para sa karagdagang pag-unlad ng mga intuitionist at formalist na paaralan ng mga lohikal na pundasyon ng matematika. Malaki ang pagbabago nito sa sistema ng pagtuturo at kadalasang nauugnay sa "bagong matematika".
Noong 1911, kabilang si Kantor sa mga naimbitahanpagdiriwang ng ika-500 anibersaryo ng Unibersidad ng St. Andrews sa Scotland. Siya ay nagpunta doon sa pag-asa na makilala si Bertrand Russell, na, sa kanyang kamakailang nai-publish na trabaho na Principia Mathematica, ay paulit-ulit na tinutukoy ang Aleman na dalubbilang, ngunit hindi ito nangyari. Ginawaran ng unibersidad si Kantor ng honorary degree, ngunit dahil sa sakit ay hindi niya natanggap nang personal ang award.
Kantor ay nagretiro noong 1913, nabuhay sa kahirapan at nagutom noong Unang Digmaang Pandaigdig. Ang mga pagdiriwang bilang parangal sa kanyang ika-70 kaarawan noong 1915 ay nakansela dahil sa digmaan, ngunit isang maliit na seremonya ang naganap sa kanyang tahanan. Namatay siya noong 1918-06-01 sa Halle, sa isang psychiatric hospital, kung saan ginugol niya ang mga huling taon ng kanyang buhay.
Georg Kantor: talambuhay. Pamilya
Agosto 9, 1874, isang German mathematician ang nagpakasal kay Wally Gutmann. Ang mag-asawa ay may 4 na anak na lalaki at 2 anak na babae. Ang huling anak ay ipinanganak noong 1886 sa isang bagong bahay na binili ng Kantor. Ang mana ng kanyang ama ay nakatulong sa kanya upang masuportahan ang kanyang pamilya. Ang kalusugan ni Kantor ay lubhang naapektuhan ng pagkamatay ng kanyang bunsong anak noong 1899, at hindi pa rin nawawala ang depresyon mula noon.
